11. ANALÓG MODULÁCIÓS ELJÁRÁSOK

Az analóg modulációs rendszerek általános blokkvázlata a 11.1. ábrán látható.

11.1. ábra. Az analóg modulációs rendszerek általános blokkvázlata
(additív Gauss-zajos csatornával)

A forrásból érkező s_m(t) modulálójelből a modulátor az f_v frekvenciájú vivő segítségével előállítja az s(t) modulált jelet. Ez a jel a csatornába kerül, ahol különböző zavaró- és torzítóhatások (additív zaj, lineáris és nemlineáris torzítás stb.) érik, majd a demodulátor bemenetére jut. A demodulátor a csatorna kimenőjeléből előállítja az s_d(t) demodulált jelet, és azt a nyelőbe juttatja. Ha a csatorna pusztán additív fehér Gauss-zajt kever a jelhez (11.1. ábra), a rendszer minőségét a demodulátor kimenetén megjelenő eredő jel jel–zaj-viszonya méri, amely definíciószerűen a hasznos jel és a zaj teljesítményének a hányadosával egyenlő. A különböző rendszerek egyszerű összehasonlítása érdekében a demodulátor bemenetén lévő jel–zaj-viszonyt definiáljuk úgy, hogy az csak a modulált jel teljesítményétől és a zaj teljesítménysűrűségétől függjön, de ne legyen közvetlen kapcsolata a modulált jel teljes sávszélességével. Ezért vezessük be a P^*_zaj = 2 ·f_M·N₀/2 = f_M·N₀ referencia-zajteljesítményt, amelyben f_M a modulálójel sávszélessége, N₀ pedig a fehér Gauss-zaj egyoldalas teljesítménysűrűsége, és minden analóg modulációs eljárás esetén ehhez viszonyítsuk a vett modulált jel teljesítményét.

Térjünk rá ezek után az analóg modulációs rendszereknél meghatározó szerepet betöltő szinuszos vivőjű hírközlő rendszerek bemutatására. Elsőként néhány általános kérdést tisztázunk, majd az egyes megvalósítási lehetőségekkel foglalkozunk.

Egy szinuszos vivőhullámú modulált jel általános matematikai kifejezése felírható például a következő módon:

s_v(t) = a(t)·cos Θ(t),
ahol s_v(t) a szinuszos vivőhullámú modulált jel t időpillanatban felvett értéke; a(t) a vivő pillanatnyi (a t időpontban felvett) amplitúdója; Θ(t) a vivő pillanatnyi (a t időpontban felvett) fázisa.

Mivel a vivőhullámnak akár az amplitúdója, akár a fázisa változhat, vagy pedig mindkettő egyszerre, ezért az egyébként szokásos időbeni átlagértékek mellett a pillanatnyi értékekkel is foglalkoznunk kell.

A vivő pillanatnyi (a t időpillanatban felvett) frekvenciája, f_p definíciószerűen a pillanatnyi fázisszög idő szerint vett differenciálhányadosa:

\( f_p=\dfrac{1}{2\pi}\cdot\dfrac{d\Theta}{dt} \), azaz ω_p(t) = \( \dfrac{d\Theta(t)}{dt} \).
Fejezetünk első egyenletéből látható, hogy a két paraméter, az a(t) és a Θ(t) bármelyike (vagy akár mindkettő egyszerre) változtatható az információt jelentő, azaz a modulálójel szerint. Aszerint, hogy melyiket változtatjuk, azaz moduláljuk, beszélünk amplitúdó-, ill. szögmodulációról.

Tisztán amplitúdómodulációról akkor beszélünk, ha a(t) változik, miközben f_p(!) = konst., míg tisztán szögmodulációt akkor nyerünk, ha a(t) = konst. és f_p változik. Röviden:

amplitúdómoduláció: a(t) ≠ konst., f_p = konst.,
szögmoduláció: a(t) = konst., f_p ≠ konst.

A következőkben először az amplitúdómoduláció különböző fajtáival foglalkozunk, utána pedig a szögmoduláció legfontosabb eseteit vesszük sorra.

11.1. Amplitúdómodulációk

Elnevezésük is azt fejezi ki, hogy ezekben az esetekben szinuszos vivőhullám amplitúdója hordozza az információt, más szavakkal a modulálójel ezeknél valamilyen módon az a(t) amplitúdófüggvényben kap helyet.

Elsőnek tehát nézzük meg, hogyan írható le általában az amplitúdómodulált (továbbiakban röviden csak AM) jel az idő- és a frekvenciatartományban. Mivel jelen esetben ω_p = konst., Θ(t) egyszerű integrálással adódik:

Θ(t) = \( \int\limits_{-\infty}^t\omega_p\ d\sigma = \omega_p\cdot\int\limits_0^td\sigma \) + φ = ω_pt + φ, ω_p = 2π·f_p,
ahol a φ integrálási állandó a t = 0 időpontbeli fázisszöget adja meg. Ha pedig f_p = konst., akkor f_p értelemszerűen megegyezik a vivő átlagfrekvenciájával, f_v-vel, tehát
Θ_AM = ω_v·t + φ .

Ezek szerint az amplitúdómodulált jel általános összefüggése alapján a következő:

s_AM(t) = a(t)·cos Θ(t) = a(t)·cos (ω_vt + φ) .

Tekintettel arra, hogy amplitúdómodulációnál legtöbbször közömbös, hogy mekkora a vivő kezdeti fázisszöge, az egyszerűség kedvéért a továbbiakban φ = 0-val számolunk:

s_AM(t) = a(t)·cos (ω_vt) .

Ez az összefüggés írja le az AM jelet általánosan az időtartományban. Tételezzük fel, hogy a modulálójelet tartalmazó a(t) függvény sávhatárolt jel, és spektrumának maximális frekvenciája f_max. Így az a(t) időfüggvény a komplex frekvenciatartományban a (−f_max)-tól (+f_max)-ig terjedő frekvenciasávot foglalja el (11.2a ábra).

Jelölje A(f) az a(t) függvény Fourier-transzformáltját. Ekkor a modulált jel Fourier-transzformáltja, S_AM(f) felírható a következő módon:

S_AM(f) = \( \int\limits_{-\infty}^\infty s_\text{AM}(t)\cdot e^{-\text{j}\omega t}dt = \int\limits_{-\infty}^\infty a(t)\cdot\cos(\omega_v t)\cdot e^{-\text{j}\omega t}dt \) =
= \( \dfrac{1}2\cdot\int\limits_{-\infty}^\infty a(t)\cdot e^{-\text{j}(\omega+\omega_v) t}dt+\dfrac{1}2\cdot\int\limits_{-\infty}^\infty a(t)\cdot e^{-\text{j}(\omega-\omega_v) t}dt \) .

11.2. ábra. Az amplitúdófüggvény és a modulált jel a frekvenciatartományban

E két integrálkifejezés felfogható úgy, mint az a(t) Fourier-transzformáltja (spektruma), A(f), a frekvenciatengelyen pozitív és negatív irányban f_v-vel eltolva és egyidejűleg felére csökkentve. Ezek szerint

S_AM(f) = 0.5·A(f−f_v) + 0.5·A(f+f_v) .
Az egyenlet igen fontos mondanivalója, hogy amplitúdómoduláció esetén a modulált jel spektruma, S_AM(f) egyszerűen úgy nyerhető, hogy az a(t) jel spektrumát – A(f)-et – felére csökkentve eltoljuk a frekvenciatengelyen pozitív és negatív irányban f_v-vel.

A 11.2b ábra grafikusan szemlélteti a viszonyokat. Ebből nyilvánvaló, hogy az amplitúdómoduláció alakhű spektrumeltolást jelent. Ezért az AM-et lineáris modulációnak is nevezik, mivel az eltolás és a "zsugorítás" lineáris művelet. A spektrum vizsgálatából egyszerűen belátható, hogy a vivő frekvenciája a modulálójel maximális frekvenciájának legalább a kétszerese kell, hogy legyen, nehogy a spektrumok átlapolódjanak.

11.1.1. AM jelek szinuszos moduláció esetén

A szemléletesség kedvéért tételezzünk fel egy egyszerű vizsgálójelet, amellyel moduláljuk a szinuszos vivőt. Legyen ez a modulálójel, s_m(t), a következő:
s_m(t) = U_m·cos(ω_m·t) .

Ha ezt amplitúdómodulációval kívánjuk továbbítani, akkor az a(t) amplitúdófüggvénynek valamilyen módon tartalmaznia kell az s_m(t) modulálójelet. A legegyszerűbb kapcsolat az lenne, ha a kettőt egymással egyenlővé tennénk. Gyakorlati megfontolásból azonban válasszunk ennél egy fokkal általánosabb összefüggést, vagyis legyen:

a(t) ≜ U_v + s_m(t) ,
ahol U_v = konst. és értelemszerűen a modulálatlan vivőhullám (ha s_m(t) ≡ 0) konstans amplitúdóját jelenti. Felhasználva egyenleteinket, írhatjuk, hogy
a(t) = U_v + U_m·cos(ω_m·t) .

Ha az a(t) és s_m(t) közötti kapcsolatot így választjuk meg, akkor egyszerűen meg tudjuk vizsgálni, hogy a vivő és a modulálójel amplitúdóinak (U_v és U_m) különböző arányai esetén milyen AM formák jönnek létre.

Felírhatjuk a koszinuszos vizsgálójellel modulált AM jel időfüggvényét:

s_AM(t) = a(t)·cos(ω_vt) = [ U_v + U_m·cos(ω_mt) ] · cos(ω_vt) =
= U_v·cos(ω_vt) + U_m·cos(ω_mt)·cos(ω_vt) .

Ez az egyenlet átírható a következő formába:

s_AM(t) = U_v·cos(ω_v·t) + (U_m/2)·cos[(ω_v+ω_m)·t] + (U_m/2)·cos[(ω_v−ω_m)·t] .

Ez már alkalmas arra, hogy segítségével a kitűzött célt megvalósítsuk: megadjuk az AM alaptípusait. Ezek a következők:

AM–DSB (kétoldalsávos amplitúdómoduláció): itt az iménti egyenlet jobb oldalának mindhárom tagját felhasználjuk. E típus sávszélessége f_B = 2·f_max, jellegzetes paramétere az m_a = (U_m/U_v), modulációs mélység, amely 0 és 1 között változhat. A modulált jel vektorábrája és időfüggvénye a 11.3. ábrán látható.
AM–DSB/SC (elnyomott vivőjű, kétoldalsávos amplitúdómoduláció): itt az iménti egyenlet első tagját elhagyjuk (pl. szűréssel vagy kiegyenlített szorzással), így a kisugárzott jelben vivőfrekvenciás összetevő nincs (innen származik az elnevezés). A modulált jel sávszélessége f_B = 2·f_max, a jel vektorábráját és időfüggvényét a 11.4. ábra mutatja.
AM–SSB/SC (elnyomott vivőjű, egyoldalsávos amplitúdómoduláció): itt az iménti egyenlet jobb oldalának első és második (vagy harmadik) tagját hagyjuk el, azaz a kisugárzott jelben csak a vivőfrekvencia fölött vagy alatt jelennek meg spektrális összetevők. A modulált jel sávszélessége f_B = f_max, a jel vektorábrája és időfüggvénye a 11.5. ábrán látható.

11.3. ábra. Az AM–DSB jel vektorábrája, idő- és frekvenciatartománybeli képe

11.4. ábra. Az AM–DSB/SC jel vektorábrája, idő- és frekvenciatartománybeli képe

11.5. ábra. Az AM–SSB/SC jel vektorábrája, idő- és frekvenciatartománybeli képe

11.1.2. AM jelek demodulálása

Az amplitúdómodulációval nyert modulált jelek demodulálása általában szorzóáramkörrel oldható meg. Kivétel ezalól az AM–DSB, amely ún. burkolódetektorral is demodulálható. A következőkben bemutatjuk az AM jel szorzással való demodulálásának elvét.

Vizsgáljuk meg, milyen jelet szolgáltat egy ideális szorzóáramkör a kimenetén akkor, ha az egyik bemenetére AM jelet, a másikra pedig az eredeti vivőhöz képest φ fázisszögű (de a vivővel azonos frekvenciájú) koszinuszos jelet adunk! Jelölje e két jel szorzatát s_d(t), ekkor felírható, hogy

s_d(t) = s_AM(t)·cos(ω_v·t + φ) = a(t)·cos(ω_v·t)·cos(ω_v·t + φ) =
= 0.5·a(t)·cos(φ) + 0.5·a(t)·cos(2·ω_v·t + φ) .
Az eredményből látható, hogy a szorzás eredményeként (φ = 0 feltételezésével) adódik egy a(t)/2 nagyságú jel az alapsávban, ami az 1/2-es tényezőtől eltekintve pontosan az amplitúdófüggvény, azaz a keresett jel, a második tag pedig egy 2·f frekvenciájú amplitúdómodulált jel, ahol az amplitúdófüggvény nagysága fele az eredetiének. Ha ez utóbbit szűrővel eltávolítjuk, akkor végül is elértük célunkat: demoduláltuk az AM jelet, hiszen az a(t)/2 tag tartalmazza a továbbításra szánt információt, s_m(t)-t.

Ezek után határozzuk meg a 11.1. ábrán lévő additív zajos csatornában a demodulátor kimenetén lévő jel–zaj-viszonyt. Ehhez írjuk fel a demodulátor bemenetén lévő eredő jelet:

r(t) = s_AM(t) + n^*(t) ,
ahol s_AM(t) az amplitúdómodulált jel; n^*(t) pedig az n(t), N₀/2 kétoldalas teljesítménysűrűségű fehér Gauss-zaj azon része, amely a hasznos jel frekvenciasávjába esik. Mivel AM–DSB jelek esetében a sávszélesség 4·f_max, az n(t) teljes teljesítménye éppen P_z =4·f_max·N₀/2. Az n^*(t) mindig előállítható modulációs formában, azaz:
n^*(t) = n^*_c(t)·cos(ω_vt) + n^*_s(t)·sin(ω_vt) ,
ahol n^*_c(t) és n^*_s(t) független, alapsávi Gauss-zajpár N₀ kétoldalas teljesítménysűrűséggel és f_max sávszélességgel.

Ha a demodulátor zajos esetben is a demodulációs egyenlet szerint működik, akkor (φ = 0 esetén):

s_d(t) = r(t)·cos(ω_v·t) =
= a(t)·cos²(ω_v·t) + n^*_c(t)·cos²(ω_v·t) + n^*_s(t)·sin(ω_v·t)·cos(ω_v·t) ≍
≍ 0.5·a(t) + 0.5·n^*_c(t) ,
ahol a ≍ jel arra utal, hogy a kimenőjelnek csak az alapsávi részét vesszük figyelembe. A demodulátor bemenetén a referencia jel–zaj-viszonyt az alábbi módon számolhatjuk:
\( \Bigg(\dfrac{P_{jel}}{P^*_{zaj}}\Bigg)_{be} = \dfrac{\dfrac{M\{a^2(t)\}}2}{f_\text{max}\cdot N_0} = \dfrac{M\{a^2(t)\}}{2\cdot f_\text{max}\cdot N_0} \) ,
míg a demodulátor kimenetén
\( \Bigg(\dfrac{P_{jel}}{P_{zaj}}\Bigg)_{ki} = \dfrac{\dfrac{1}4\cdot M\{a^2(t)\}}{\dfrac{1}4\cdot M\{n^*_c(t)\}} = \dfrac{M\{a^2(t)\}}{2\cdot f_\text{max}\cdot N_0} \) ,
ami arra utal, hogy kétoldalsávos AM esetén a demodulátor kimenetén lévő jel–zaj-viszony megegyezik a demodulátor bemenetén lévő referencia jel–zaj-viszonnyal, természetesen csak akkor, ha az a(t) függvény egész teljesítménye hasznos (ez AM–DSB/SC esetében igaz). Amennyiben AM–DSB jel esetén a hasznos oldalsávok mellett vivőt is kisugárzunk, az a(t) jelnek csak egy része hordoz valódi információt, így csökkenő modulációs mélység esetén a kimeneti jel–zaj-viszony csökken.

Megjegyzendő, hogy AM–SSB/SC jelek esetében a demodulátor bemenetén lévő referencia és kimenetén lévő jel–zaj-viszony azonos:

\( \Bigg(\dfrac{P_{jel}}{P_{zaj}}\Bigg)_{ki} = \Bigg(\dfrac{P_{jel}}{P^*_{zaj}}\Bigg)_{be} = \dfrac{\dfrac{M\{a^2(t)\}}4}{f_\text{max}\cdot N_0} = \dfrac{M\{a^2(t)\}}{4\cdot f_\text{max}\cdot N_0} \) ,
ami azt jelenti, hogy azonos bemenőzaj esetén ugyanakkora hasznos jellel – AM–SSB/SC moduláció esetén – fele akkora kimeneti jel–zaj-viszonyt érhetünk el, mint akkor, ha mindkét oldalsávot felhasználjuk a csatornában.

11.2. Szögmodulációk

Induljunk ki az eredeti definícióból, amely szerint szögmodulációt akkor nyerünk, ha a vivő amplitúdója, a(t) állandó, és pillanatnyi frekvenciája, f_p (és ezzel együtt természetesen a pillanatnyi fázisa is) változik a modulálójel szerint. Hasonlóan az amplitúdómodulációnál látottakhoz, itt is felmerül a kérdés: milyen legyen az összefüggés az s_m(t) modulálójel és a modulációt valamilyen formában tartalmazó f_p, ill. Θ(t) között? Minél egyszerűbb ez az összefüggés, annál könnyebb a modulációt és a demodulációt megvalósítani. Ezért a legegyszerűbb kapcsolatot, a lineáris összefüggést szokás alkalmazni. Mivel pedig a modulálójel lehet közvetlen lineáris kapcsolatban mind a pillanatnyi frekvenciával, mind a pillanatnyi fázisszöggel, logikus, hogy kétféle szögmodulációról beszélünk: frekvencia- és fázismodulációról. Definíciószerűen: ha
f_p = \( \dfrac{1}{2\pi}\cdot\dfrac{d\Theta}{dt} \) = k_FM·s_m(t) + f_v ,
akkor az információt frekvenciamodulációval továbbítjuk, ha pedig
Θ(t) = k_PM·s_m(t) + ω_v·t ,
akkor fázismodulációval. E két egyenletben k_FM és k_PM dimenziós állandók, f_v pedig a vivőhullám modulálatlan frekvenciáját jelöli, és természetesen szintén állandó. Ezek szerint felírható a frekvenciamodulált (röviden FM) és a fázismodulált (röviden PM) jel általános összefüggése (φ = 0):
s_FM(t) = a(t)·cos Θ(t) = \( U_v\cdot\cos\big(2\pi\cdot(\int\limits_0^tf_p\ d\sigma)\big) \) =
= \( U_v\cdot\cos\big(2\pi\cdot(f_v\cdot t+k_\text{FM}\cdot\int\limits_0^ts_m(\sigma)\ d\sigma)\big) \) =
= \( U_v\cdot\cos\big(\omega_v\cdot t+2\pi\cdot k_\text{FM}\cdot\int\limits_0^ts_m(\sigma)\ d\sigma\big) \) ;
s_PM(t) = a(t)·cos Θ(t) = U_v·cos [ω_vt + k_PM·s_m(t)] .

További vizsgálatainkat a jobb áttekinthetőség céljából – hasonlóan az előzőekhez – az általános s_m(t) modulálójel helyett a könnyen kezelhető

s_m(t) = U_m·cos(ω_m·t)
vizsgáló modulálójellel végezzük. Behelyettesítve az előző egyenletbe, a következőket kapjuk:
s_FM(t) = \( U_v\cdot\cos\big(\omega_v\cdot t+2\pi\cdot k_\text{FM}\cdot\int\limits_0^tU_m\cdot\cos(\omega_m\cdot\sigma)\ d\sigma\big) \) =
= \( U_v\cdot\cos\big(\omega_v\cdot t+\dfrac{k_\text{FM}\cdot2\pi\cdot U_m}{\omega_m}\cdot\sin(\omega_m\cdot t)\big) \) =
= \( U_v\cdot\cos\big(\omega_v\cdot t+\dfrac{k_\text{FM}\cdot U_m}{f_m}\cdot\sin(\omega_m\cdot t)\big) \) ;
s_PM(t) = U_v·cos [ω_v·t + k_PM·U_m·cos(ω_m·t)] .
Az FM jelnek ez az összefüggése fizikailag azt fejezi ki, hogy a továbbításra szánt jelet az U_v állandó amplitúdójú szinuszos vivőhullám úgy hordozza, hogy a vivő pillanatnyi frekvenciája egy közepes f_v érték körül ingadozik, a modulálójel nagyságának megfelelően. A modulálójel amplitúdójának megfelel az f_v-től számított maximális frekvenciaeltérés vagy szaknyelven frekvencialöket, míg a modulálójel frekvenciáját az adja, hogy másodpercenként hányszor "lengi" körül a pillanatnyi frekvencia a vivőfrekvenciát.

Mielőtt továbbmennénk, megismerkedünk néhány új fogalommal, ill. bevezetünk egy-két új jelölést. Az egyenleteinkben szereplő k_FM·U_m szorzatot, amely értelemszerűen a maximális frekvencialöketet adja meg, f_D-vel jelöljük (D: deviáció: eltérés), azaz:

f_D = k_FM·U_m .

Ha a pillanatnyi frekvencia kifejezésébe beírjuk a koszinuszos s_m(t) jelet, akkor a következőt kapjuk:

f_p = k_FM·s_m(t) + f_v = k_FM·U_m·cos(ω_m·t) + f_v = f_v + f_D·cos(ω_m·t) .

Ebből világosan látható, hogy f_D a maximális frekvencialöket, a pillanatnyi frekvenciának a maximális eltérése a közepestől, a modulálatlantól, f_v-től. (Megkülönböztetésül a pillanatnyi frekvencialöketet f_d-vel jelöljük.)

Az összefüggéseinkben szereplő k_FM·U_m/f_m hányadost pedig – m_a analógiájára – m_f-fel jelöljük és frekvenciamodulációs tényezőnek nevezzük, azaz:

\( m_f = \dfrac{k_\text{FM}\cdot U_m}{f_m} = \dfrac{f_D}{f_m} \)
(az f index a frekvenciamodulációra utal).

Hasonlóan a k_PM·U_m szorzatot – értelemszerűen – m_p-vel jelöljük, és fázismodulációs tényezőnek nevezzük, vagyis:

m_p = k_PM·U_m .

Az m_f-hez hasonlóan az m_p modulációs tényezőnek is van szemléletes fizikai jelentése, amit ki lehet olvasni: megadják radiánban a modulált vivőhullám maximális fáziseltérését a modulálatlanhoz képest. Ezért ezeket – mint a frekvencialökettel analóg fogalmakat – szokás fázislöketnek is nevezni. A szemléltetés kedvéért a 11.6. ábrán megadjuk egy szinuszosan modulált FM jel alakját az időtartományban.

11.6. ábra. Moduláló- és FM jel az időtartományban

Részletesebb analízis alapján az FM jel sávszélessége az alábbi összefüggésből számolható:

f_B = 2·α·f_m ,
ahol α ≈ \( \left\{ \begin{array}{ll} 1, & \text{ha }m_f<0.1; \\ m_f, & \text{ha }m_f>10; \\ 1+m_f+\sqrt{m_f}, & \text{egyébként}; \end{array} \right. \)
és f_m a szinuszos modulálójel frekvenciája.

11.2.1. FM jelek demodulálása

Az FM jelek demodulálására olyan áramkörre van szükség, amelynek kimenetén a bemenetre adott jel pillanatnyi frekvenciájával arányos feszültség jelenik meg. Az ideális FM demodulátor karakterisztikáját a 11.7. ábra mutatja. Azokat az áramköröket, amelyeknek ilyen a jelleggörbéjük, általában frekvenciadiszkriminátoroknak nevezzük. Adjunk a diszkriminátor bemenetére egy általános FM jelet (φ = 0):
s_FM(t) = \( U_v\cdot\cos\big(\omega_v\cdot t+2\pi\cdot k_\text{FM}\cdot\int\limits_0^ts_m(\sigma)\ d\sigma)\big) \) ,
akkor az ideális frekvenciadiszkriminátor kimenetén a demodulált jel
s_d(t) = k_diszkr·2π·f_p = k_diszkr·2π·[f_v + k_FM·s_m(t)]
lesz, mivel a pillanatnyi frekvenciát a koszinuszfüggvény argumentumának, Θ(t)-nek az idő szerinti deriváltja adja.

11.7. ábra. Ideális FM demodulátor karakterisztikája

Az ideális diszkriminátorkarakterisztikát jól közelíti egy olyan összeállítás, ahol az FM jelet egy differenciáló-áramkörre vezetjük, majd az így kapott jelet burkolódemodulátorral demoduláljuk. Ha ugyanis az FM jelet idő szerint differenciáljuk, akkor

\( \dfrac{d}{dt}\big(s_\text{FM}(t)\big) = U_v\cdot2\pi\cdot\big(f_v+k_\text{FM}\cdot s_m(t)\big)\cdot\sin\big(2\pi\cdot\big(f_v\cdot t+k_\text{FM}\cdot\int\limits_0^ts_m(\sigma)\ d\sigma\big)\big) \)
adódik, ami nem más, mint egy olyan szinuszos FM jel, amelynek amplitúdója éppen a demodulálandó s_m(t)-vel arányosan változik. Ha tehát ezt a – lényegében egyidejűleg FM-AM – jelet burkolódetektorra vezetjük, akkor az amplitúdóval arányos feszültséget, tehát az eredeti modulálójelet fogja szolgáltatni a kimenetén.

Zajos jel esetében a 11.1. ábra szerinti rendszerben a demodulátor bemenetére jutó jel–zaj-viszonyt az alábbi módon határozhatjuk meg:

\( \Bigg(\dfrac{P_{jel}}{P^*_{zaj}}\Bigg)_{be} = \dfrac{\dfrac{U_v^2}2}{f_\text{max}\cdot N_0} = \dfrac{U_v^2}{2\cdot f_\text{max}\cdot N_0} \) .
A demodulátor kimenetén kis zajszintek esetében a jel–zaj-viszonyt a következőképpen számolhatjuk. Zajmentes esetben k_diszkr = 1 feltételezésével a hasznos jel teljesítménye:
\( P_{jel_{ki}} = (2\pi)^2\cdot k_{FM}^2\cdot M\{s_m^2(t)\} \) .
Tudjuk ezenkívül, hogy az U_v amplitúdójú modulált jelhez sávhatárolt fehér Gauss-zaj adódik. Ennek a zajnak a szinuszos alapsávi komponense, (n^*_s(t))
\( \varepsilon(t) = \dfrac{n_s^*(t)}{U_v} \) ; ha |ε(t)| ≪ 1
nagyságú "fáziszajt" okoz. Ezt a "fázist" úgy határozzuk meg, hogy U_v amplitúdójú modulálatlan vivőt feltételezve kiszámoljuk azt, hogy az n^*(t) kifejezésében adott zaj milyen mértékű fázisváltozást okoz a jelben. E "fáziszaj" deriváltja adódik a hasznos jelhez, hiszen ez lesz a pillanatnyi "frekvenciazaj":
\( \dfrac{d}{dt}\Big(\varepsilon(t)\Big) = \dfrac{1}{U_v}\cdot\dfrac{d}{dt}\Big(n_s^*(t)\Big) \) .

Az f_max frekvenciasávba eső teljes alapsávi zajteljesítményt a

\( P_{zaj_{ki}} = \dfrac{1}{U_v^2}\cdot{\LARGE\int}\limits_{-\omega_\text{max}}^{\omega_\text{max}}\dfrac{N_0}{2\pi}\cdot\omega^2\ d\omega = \dfrac{N_0}{2\pi}\cdot\dfrac{2}{U_v^2}\cdot\dfrac{\omega_\text{max}^3}3 = (2\pi)^2\cdot\dfrac{2}{3\cdot U_v^2}\cdot N_0\cdot f_\text{max}^3 \) .
kifejezés adja, amiből a kimeneti jel–zaj-viszonyra a
\( \Bigg(\dfrac{P_{jel}}{P_{zaj}}\Bigg)_{ki} = \dfrac{(2\pi)^2\cdot k_\text{FM}^2\cdot M\{s_m^2(t)\}}{(2\pi)^2\cdot\dfrac{2}{3\cdot U_v^2}\cdot N_0\cdot f_\text{max}^3} = 3\cdot\dfrac{k_\text{FM}^2\cdot M\{s_m^2(t)\}}{f_\text{max}^2}\cdot\dfrac{U_v^2}{2\cdot f_\text{max}\cdot N_0} \) ,
kifejezés adódik.

Ebből pedig látszik, hogy a demodulátor kimenetén lévő jel–zaj-viszony:

\( \Bigg(\dfrac{P_{jel}}{P_{zaj}}\Bigg)_{ki} = 3\cdot\Bigg(\dfrac{P_{jel}}{P^*_{zaj}}\Bigg)_{be}\cdot\dfrac{k_\text{FM}^2\cdot M\{s_m^2(t)\}}{f_\text{max}^2} \) ,
ahol \( k_\text{FM}^2\cdot M\{s_m^2(t)\} \) az effektív frekvencialöket négyzete. Tehát az FM rendszerek minősége a löket növelésével, kis zajterhelésnél, azonos rádiófrekvenciás teljesítményt feltételezve javul.

Ellenőrző kérdések

Ismertesse az analóg modulációs rendszerek általános felépítését, definiálja az amplitúdó- és a szögmodulációk fogalmát!
Rajzolja fel az AM–DSB, az AM–DSB/SC és az AM–SSB/SC jelek vektorábráját, időfüggvényét és spektrumát szinuszos moduláció esetén!
Ismertesse a referencia-zajteljesítmény fogalmát!
Határozza meg az AM–DSB modulációs rendszer kimeneti jel–zaj-viszonyát N₀ egyoldalas teljesítménysűrűségű Gauss-zajos csatornában!
Ismertesse a frekvencia- és fázislöket fogalmát, valamint az FM és PM rendszerekben alkalmazott modulációs tényező definícióját!
Ismertesse a szinuszosan modulált FM jel sávszélességének közelítő számítási módját!
Határozza meg az FM modulációs rendszer kimeneti jel–zaj-viszonyát N₀ egyoldalas teljesítménysűrűségű Gauss-zajos csatornában!

Rövidítések

AM	Amplitude Modulation	amplitúdómoduláció
DSB	Double Side Band	kétoldalsávos
SSB	Single Side Band	egyoldalsávos
SC	Suppressed Carrier	elnyomott vivőjű
FM	Frequency Modulation	frekvenciamoduláció
PM	Phase Modulation	fázismoduláció