12. DIGITÁLIS MODULÁCIÓS ELJÁRÁSOK

A digitális információk átvitelére szolgáló modulációs rendszereket két nagy csoportba oszthatjuk:

alapsávi modulációs rendszerek,
vivős modulációs rendszerek.

Alapsávi modulációs rendszerek esetében a jelet aluláteresztő jellegű csatornán továbbítjuk, míg vivős modulációs rendszerek esetében a csatorna sáváteresztő jellegű.

A digitális modulációs rendszerek általános blokkvázlata a 12.1. ábrán látható.

12.1. ábra. A digitális modulációs rendszerek általános blokkvázlata
(additív zajos csatornával)

Ebben az általános rendszerben a forrásból T időnként érkező {d_k} szimbólumok felhasználásával a modulátor előállítja az s(t) modulált jelet, amely a csatorna bemenetére kerül. A modulált jelet a csatornában különböző zavaró és torzító hatások (additív zaj, lineáris és nemlineáris torzítás stb.) érik, majd a jel a demodulátorra kerül. A demodulátor feladata a {\( \tilde{d}_k \)} becsült szimbólumsorozat előállítása a csatorna kimenetén megjelenő eredő r(t) jelből. A rendszer minőségét a nyelőre jutó becsült szimbólumsorozatra vonatkozó P_b (szimbólum)hibaaránnyal mérjük. Ha a csatorna pusztán additív fehér Gauss-zajt kever a hasznos jelhez, a P_b hibaarány elsősorban az r(t) jelre vonatkozó jel–zaj-viszonytól, ill. az ezzel lényegében ekvivalens E_b/N₀ hányadostól függ, ahol E_b az egy bitre jutó energia, N₀ pedig az additív fehér Gauss-zaj egyoldalas teljesítménysűrűsége. Mivel most a modulálójel nem analóg, hanem digitális, ezért ismét meg kell vizsgálnunk a modulációs lehetőségeket, különösen szem előtt tartva azt, hogy ezúttal nem az alakhű jelátvitel a fontos elsősorban, hanem az, hogy az átvitt jelből minél kisebb hibavalószínűséggel lehessen visszanyerni az eredeti digitális adatokat. Ha egyébként biztosítható a kis tévedési arányszám, akkor közömbös, hogy az átvitt jel milyen alakú, milyen formájú.

12.1. Alapsávi modulációs rendszerek

Digitális alapsávi moduláció esetén a digitális információt hordozhatja az impulzusnak akár az amplitúdója, akár az időtartama, akár a helyzete. Ezeket az impulzusvivőjű rendszereket éppen ezért impulzusamplitúdó-modulációnak (PAM), impulzusidőtartam-modulációnak (PDM), ill. impulzushelyzet-modulációnak (PPM) nevezik. Ezek közül a PAM rendszerek nyújtják a leghatékonyabb teljesítmény- és sávszélesség-kihasználást, ezért figyelmünket most arra összpontosítjuk.

12.2. ábra. Az alapsávi digitális átviteli rendszerek blokkvázlata
(additív zajos csatornával)

A 12.2. ábrán az alapsávi PAM típusú rendszerek általános blokkvázlata látható. A forrásból érkező {d_k} szimbólumsorozat elemei T időnként vezérlik a Dirac-impulzusgenerátort. Tételezzük fel, hogy a szimbólumok M különböző értéket vehetnek fel a [−(M−1), …, −3, −1, +1, +3, …, +(M−1)] értékkészletből, továbbá, hogy a Dirac-impulzusgenerátor kimenetén az

s^*(t) = \( \sqrt{PT} \cdot \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} d_k \cdot \delta(t-kT) \)

jel jelenik meg (P a jel teljesítménye). Ez a jel vezérli az adószűrőt, amely a kimenetén az

s(t) = \( \sqrt{PT} \cdot \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} d_k \cdot h_t(t-kT) \)

modulált jelet szolgáltatja, ahol h_T(t) a H_T(f) átviteli függvényű adószűrő súlyfüggvénye. A jelhez a csatornában additív fehér Gauss-zaj keveredik, és a vevő bemenetén az

r(t) = s(t) + n(t)

eredő jel jelenik meg. Érdemes megjegyezni, hogy az n(t) fehér Gauss-zaj végtelen teljesítményű, így nyilvánvaló, hogy értelmes információátvitelhez feltétlenül szükség van a vevőben az r(t) jel, ezen belül a zaj szűrésére.

Ezt a feladatot látja el a H_R(f) átviteli függvényű vevőszűrő, amely a zaj hatásának csökkentésén kívül egyúttal a mintavevő és döntő készülékre jutó hasznos jelalakot is formálja.

A vevőszűrő kimenetén megjelenő r(t) jeltől – normál esetben – elvárjuk, hogy

a szűrt additív zaj (n^*(t)) teljesítménye a lehető legkisebb legyen,
a jel T időnkénti mintái rendre csak egy bemeneti szimbólum értékétől függjenek.

Az első feltételt úgy teljesíthetjük, hogy az adószűrő és a vevőszűrő átviteli függvényét konjugált értelemben azonosra választjuk, H_R(f) = H_T^*(f) (az ilyen rendszert illesztett szűrős struktúrának nevezzük), úgy tudjuk ugyanis a zajt leginkább elnyomni anélkül, hogy a hasznos jelet jelentősen torzítanánk.

A második feltételhez pedig a teljes átviteli rendszer eredő átviteli függvényét, H(f)-et kell úgy megválasztani, hogy a

H(f) = H_T(f) · H_R(f)

eredő átviteli függvényhez tartozó h(t) súlyfüggvény speciális tulajdonságokkal rendelkezzen, nevezetesen a h(t) T időközönként vett mintái közül csak egy különbözzön nullától, a többi mind legyen nulla. Az ilyen rendszerről azt mondjuk, hogy benne a szimbólumközi áthallás (ISI) zérus. Az alapsávi jelalak kiválasztásáról a következő pontban lesz szó.

12.1.1. Alapsávi impulzusjelalak-formálás

Vizsgáljuk meg azt az esetet, amikor a csatorna ideálisan zajmentes, és így az r^*(t) kimenőjelet csak a szűrők átviteli függvényei határozzák meg.

Jelöljük a H(f) átviteli függvényhez tartozó súlyfüggvényt h(t)-vel, és határozzuk meg zajmentes esetben a vevőszűrő kimenőjelét:

r^*(t) = \( \sqrt{PT} \cdot \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} d_k \cdot h(t-kT) \)

Az ú.n. Nyquist-kritérium kimondja, hogy minden olyan h(t) választás kielégíti a szimbólumközi áthallásmentesség feltételét, amelyre igaz a

\( \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} H(f + \dfrac{k}{T}) = T \), ha |f| ≤ 1/(2T)

összefüggés, ahol illesztett esetben H(f) = H_T(f) · H_R(f) = |H_R(f)|² = |H_T(f)|².

A képlet alapján szavakkal is összefoglalhatjuk a Nyquist-kritérium lényegét: az 1/T számértékének a felével képezett frekvenciánál az eredő relatív átviteli függvény 50%-os pontját kijelölve a frekvenciatengelyen (ezt hívják Nyquist-pontnak) olyan H(f) spektrális függvényt kell megvalósítani, amely erre a pontra nézve pontszimmetrikus lefutású. A 12.3a ábra szemlélet néhány lehetséges H(f) frekvenciamenetet, amelyek mind alkalmasak arra, hogy kiküszöböljék a szimbólumközi áthallást. Látható, hogy a Nyquist-kritérium nem ír elő frekvenciaeloszlást, így gyakorlatilag végtelen sok lehetőség van a kritérium kielégítésére. Ugyanakkor az ábrát szemlélve azonnal szembetűnik, hogy az ISI elvileg nem szüntethető meg teljesen, ha a rendelkezésre álló sávszélesség kisebb, mint 1/(2T) Hz-ben vett értéke, mert akkor már nem alakítható ki pontszimmetrikus spektrumkép. A B = 1/(2T) tehát az elméletileg lehetséges minimális sávszélesség, amellyel ISI nélküli átvitelt még meg lehet valósítani. Továbbmenve az is megfigyelhető az ábrából, hogy nincs szükség B = 1/T-nél nagyobb sávszélességre, még akkor sem, ha a "legbőkezűbben" is bántunk a frekvenciasávval a pontszimmetria kialakításánál.

Megkönnyíti sok lehetséges megoldás közül a választást 12.3b ábrán feltüntetett néhány h(t) időfüggvény, amelyet a 12.3a ábrán megadott spektrális eloszlású jeleknek felelnek meg. Megfigyelhető, hogy minél meredekebb a spektrum levágása, a Nyquist-pont környezetében, annál nagyobb az időfüggvény "belengése", "túllövése". Ezzel szemben, ha "lankás" levágási karakterisztikát adunk a spektrumnak, akkor az időfüggvény mentes lesz a belengésektől. Ezért a gyakorlatban igen gyakran az ú.n. emelt koszinuszos levágási karakterisztikát alkalmazzák "lágy" átmenettel a zérus felé, mert az még jó kompromisszum az 1/(2T)-hez képest elfogadható sávszélesség-növekedés és túllövésmentes időképek között. (A túllövéses időkép azért veszélyes, mert ha időzítési hiba van a rendszerben, a hibás felismerés valószínűsége megnőhet.) Az α paraméter a spektrum lekerekítésének meredekségére jellemző állandó.

12.3. ábra. A Nyquist-kritérium szemléltetése a frekvencia- és az időtartományban

Összefoglalva a vett impulzusalakra, h(t)-re vonatkozó következtetéseket, megállapítható, hogy az 1/T adatsebességű adatok továbbítására minimálisan 1/(2T) Hz sávszélességű csatornára van szükség, ha az adatokat zérus szimbólumközi áthallással kívánjuk átvinni. Ennél nagyobb sávszélességgel az adatátvitel biztonságát jelentősen megnövelhetjük, ha a h(t) impulzus spektrumát pl. emelt koszinuszos levágású karakterisztikával alakítjuk ki. Törekedni kell az 1/T értékének megfelelő teljes sávszélesség kihasználására, mert ekkor lesz a h(t) impulzusalak a legmegfelelőbb a biztonságos mintavételezésre a vételi oldalon.

12.1.2. A hibaarány meghatározása

Zajos esetben a hibaarányt – PAM típusú átvitelt feltételezve – az határozza meg, hogy a vevőszűrő kimenetén megjelenő r^*(t) eredő jelben a hasznos jelből származó komponensek és a vevőszűrő által korlátozott teljesítményű zaj milyen viszonyban vannak egymással. Bináris szimbólumok esetében (ha d_k a ±1 értéket veheti fel), és ha a H(f) teljesíti a Nyquist-kritériumot, nyilvánvaló, hogy zajmentes esetben a vevőszűrő kimenőjele a mintavételi nT időpontokban éppen \(\pm\sqrt{PT}\) értékű lehet (l. a 12.4. ábrát és a hozzá tartozó magyarázatot), így csak az a kérdés, hogy ehhez az értékhez az n(t) fehér Gauss-zajból mekkora n^*(t) szűrt zaj adódik.

Az n^*(t) zaj a fehér Gauss-zajból szűréssel állítható elő, így a várható értéke nulla, szórásnégyzetét pedig – a 12.3. ábrát is felhasználva – a

σ²_n* = \( \int\limits_{-1/T}^{1/T} \dfrac{N_0}2 \cdot |H_R(f)|^2 df \) = \( \int\limits_{-1/T}^{1/T} \dfrac{N_0}2 \cdot H(f) df \) = \( \dfrac{N_0}2 \cdot \int\limits_{-1/T}^{1/T} H(f) df \) = \( \dfrac{N_0}2 \)
összefüggésből határozhatjuk meg. A 12.4. ábrán a vett jel (hasznos jel + zaj) valószínűségi sűrűségfüggvényeit ábrázoltuk akkor, ha +1 vagy −1 volt a küldött szimbólum.

12.4. ábra. A vevőszűrő kimenőjelének valószínűségsűrűség-függvénye σ²=1/4, \(\sqrt{PT}=1\) esetén

Az ábrából látható, hogy a zajmentes esetben vehető ±1-es ideális értékek helyett a vevőszűrő kimenetén a döntés pillanatában adott eséllyel (eloszlással) bármilyen jel megjelenhet. Azt eldönteni, hogy +1 vagy −1 volt-e az elküldött szimbólum, nyilvánvalóan úgy lehet, hogy az r^*(t) jel mintavett értékének előjelét állapítjuk meg. Ebből világosan következik, hogy bithiba valószínűsége (BER, amely bináris esetben megegyezik a szimbólumhiba valószínűséggel):

P_b = P{r^*(nT) ≥ 0 | d_n = −1},

amelyet a

P_b = \( \int\limits_0^{\infty} \sqrt{1/{2\pi\sigma}} \cdot e^{-{(x+\sqrt{PT})^2}/2\sigma^2} dx \) = \( \int\limits_{\sqrt{PT}}^{\infty} \sqrt{1/{2\pi\sigma}} \cdot e^{-{y^2}/2\sigma^2} dy \) = \( \int\limits_{\sqrt{PT}/\sigma}^{\infty} \sqrt{1/{2\pi}} \cdot e^{-{z^2}/2} dz \) = \( Q(\sqrt{PT}/\sigma) \) = \( Q(\sqrt{2PT/N_0}) \)

kifejezésből számolhatunk, felhasználva a

Q(x) = \( \int\limits_x^{\infty} \sqrt{1/{2\pi}} \cdot e^{-y^2/2} dy \)

gaussi hibaintegrál-függvényt.

Mivel PT = E_b nem más, mint a hasznos jelnek egy bitidőre eső energiája, ezért a fentebbi kifejezést a

P_b = \( Q(\sqrt{2E_b/N_0}) \)

formában szoktuk megadni. A függvényt a 12.5. ábrán láthatjuk kétszer logaritmikus diagramon ábrázolva.

12.5. ábra. A bináris PAM rendszer hibaaránya a jel–zaj-viszony függvényében

12.2. Vivős modulációs rendszerek

A 12.6. ábra négy fontos, vivős modulációs eljárást szemléltet, amely alkalmas arra, hogy egy sáváteresztő jellegű csatornán bináris adatokat vigyünk át. A 12.6a ábrán látható a diszkrét amplitúdómoduláció hullámformája, közvetlenül alatta 1-gyel, ill. 0-val feltüntetve a továbbítandó bináris értékek. Láthatóan az eljárás a vivőhullám ki-be kapcsolásából áll, logikai 1-nél a vivő létezik, 0-nál pedig a vivő eltűnik. Szokás ezért ezt a modulációt amplitúdóbillentyűzésnek, rövidítve ASK-nak nevezni, mivel az amplitúdó "ki-be kapcsolásával" az mindössze két értéket vehet fel.

Ha a szinuszos vivő frekvenciáját kapcsolgatjuk a bináris adatok szerint két fix érték között, akkor az így nyert modulációt frekvenciabillentyűzésnek nevezzük, jelölése pedig FSK. Az FSK jel hullámalakját tünteti fel a 12.6b ábra, ugyanazt a moduláló bináris adatsort feltételezve. Jól megfigyelhető az ábrából, hogy ezúttal csak a vivőhullám frekvenciája változik ugrásszerűen a moduláló bináris jel ütemében.

12.6. ábra. Bináris jellel modulált vivő hullámalakjai
a) ASK; b) FSK; c) PSK; d) AM-DSB,
a moduláló jel alapsávi impulzusformálása után

A 12.6c ábra azt az esetet ábrázolja, amikor a szinuszos vivőnek csak a fázisa tolódik el ugrásszerűen a moduláció hatására, mind az amplitúdója, mind a frekvenciája eközben állandó marad. Logikus, hogy ezt az eljárást fázisbillentyűzésnek nevezzük, hiszen a vivő fázisa két jól meghatározott érték közül veszi fel mindig azt, amelyik a modulálójelnek éppen megfelel. Természetesen most is változatlan a két másik paraméter: az amplitúdó és a frekvencia.

Végül a 12.6d ábra azt az esetet ábrázolja, ahol a szinuszos vivőhullámot amplitúdóban olyan diszkrét PAM jel modulálja, mint amilyent a 12.1.1. szakaszban bemutatott szűrési eljárással előzőleg már "simítottunk", formáltunk.

Egyszerűen belátható, hogy akkor kapjuk a legkisebb átviteli sávszélesség-igényt, ha a bináris jelet moduláció előtt a 12.1.1. szakaszban leírtak szerint formáljuk, majd AM-DSB eljárást használunk.

12.2.1. A bináris digitális modulációs rendszerek felépítése

A bináris hírközlő rendszerek vevőkészülékeinek feladata lényegében az, hogy zaj jelenlétében is meg tudják különböztetni, fel tudják ismerni az érkező két lehetséges jelet, s₁(t)-t és s₂(t)-t. A vevő jóságát az határozza meg, hogy milyen hibavalószínűséggel tudja ellátni ezt a feladatot, és a vevőkonstrukció akkor nevezhető optimálisnak, ha a hibavalószínűség minimális. Ebben a részben bemutatjuk annak az optimális vevőnek a felépítését, amely alkalmas bináris ASK, PSK és FSK jelek vételére.

Ha a zaj a vevő bemenetén fehér Gauss-zaj, akkor be lehet bizonyítani, hogy az optimális vevő legfontosabb része az ún. illesztett szűrő. Ugyancsak bebizonyítható, hogy ez a szűrő megvalósítható egy korrelátorral, amely szorzóból és egy integrátorból áll. A vevő szinkronizmusát olyan helyi oszcillátor biztosítja, amelynek vivőfrekvenciája és fázisa pontosan igazodik a vett jel frekvenciájához és fázisához (koherens vétel). Ehhez természetesen megfelelő áramköröket kell a vevőben alkalmazni.

A bináris ASK, PSK és FSK jelek egyaránt demodulálhatók az optimálisnál rosszabb minőségű nemkoherens demodulálási eljárásokkal is. Megvalósításuk jóval egyszerűbb, éppen ezért széles körben alkalmazzák őket kis sebességű adatátviteli rendszerekben.

Nézzük ezek után egy általános blokkvázlaton, hogy hogyan épülnek fel a digitális modulációt alkalmazó bináris adatátviteli rendszerek. A blokkvázlatot a 12.7. ábra tünteti fel. A rendszer bemenőjele egy bináris bitszekvencia {d_k}, amelynek bitüteme(-sebessége) 1/T, egy bit időtartama T. A k-adik bit idején a demodulátor kimenőjele nyilván a k-adik bit értékétől, d_k-tól függ. A modulátor által létrehozott jel, s(t) a k-adik bitidőben – természetesen az alapértelmezésnek megfelelően – egyike a két lehetséges hullámformának, s₁(t)-nek, ill. s₂(t)-nek, eltolva a k-adik bit időtartamára. Itt s(t) a következő módon meghatározott sztochasztikus folyamat:

\( s(t)=\left\{ \begin{array}{ll} s_1(t-kT), & \text{ha }d_k=1, \\ s_2(t-kT), & \text{ha }d_k=-1; \end{array} \right. \)

feltételezve, hogy kT ≤ t < (k+1)T.

12.7. ábra. Egy vivős, bináris adatátviteli rendszer blokkvázlata

Mind az s₁(t), mind az s₂(t) időtartama T, és véges energiájúak, pl. s₁(t) ≡ 0 és s₁(t) ≡ 0, ha t kívül esik a 0…T időtartományon, azon belül viszont mindkét függvény négyzetének idő szerint vett integrálja véges értékű.

A hullámalak formája függ az alkalmazott modulácíótól, ezt a 12.1. táblázat jól érzékelteti. A modulátor kimenetéről a jel a sáváteresztő jellegű, H_c(f) transzfer függvényű átviteli csatornára kerül, amelyet most ideálisnak tételezünk fel. Ez esetünkben torzításmentes átvitelt jelent, eltekintve a véges időkéséstől. A csatornazajról pedig feltételezzük, hogy zérus várható értékű, stacionárius Gauss-zaj, amelynek kétoldalas spektrális teljesítménysűrűsége, N₀/2 ismert. A vett jel és zaj, r(t) így felírható a következőképpen:

\( r(t)=\left\{ \begin{array}{ll} s_1(t-kT-\tau) + n(t), & \text{ha }d_k=-1, \\ s_2(t-kT-\tau) + n(t), & \text{ha }d_k=1; \end{array} \right. \)

feltételezve, hogy kT ≤ t < (k+1)T, ahol τ a továbbítási időkésés, amit egyébként az általánosság csorbítása nélkül zérusnak is tekinthetünk.

12.1. táblázat. Jelzési hullámalakok választása ASK, PSK és FSK esetén

A moduláció fajtája	s₁(t); 0 ≤ t < T	s₂(t); 0 ≤ t < T
Amplitúdóbillentyűzés ("ASK")	0	A·cos(ω_ct) (vagy A·sin(ω_ct))
Fázisbillentyűzés ("PSK")	−A·cos(ω_ct) (vagy −A·sin(ω_ct))	A·cos(ω_ct) (vagy A·sin(ω_ct))
Frekvenciabillentyűzés ("FSK")	A·cos((ω_c−ω_d)t) (vagy A·sin((ω_c−ω_d)t))	A·cos((ω_c+ω_d)t) (vagy A·sin((ω_c+ω_d)t))

A vevő felépítését a 12.8. ábra szemlélteti. A vevőnek először el kell döntenie, hogy a két ismert hullámalak [s₁(t) vagy s₂(t)] melyike van jelen a bemenetén a jelzési időszak alatt. A tényleges vevő szűrőből, mintavevőből és küszöbdetektorból (komparátorból) áll. A jel és a zaj összegét leíró r(t) először szűrőn halad át, majd mintavevőre kerül minden egyes (bit)időszakasz végén. A vett minta egy előre meghatározott küszöbértékkel való összehasonlítása után attól függően lesz 1-nek vagy −1-nek dekódolva (időnkénti hibákat is beszámítva), hogy r^*(kT) nagyobb vagy kisebb-e, mint a küszöbérték.

12.8. ábra. Bináris adatátviteli rendszer vevője

A vevő a zaj hatására időnként hibásan dekódol. A hibavalószínűség függ a vevő bemenetére érkező, jel teljesítményétől, a zaj spektrális teljesítménysűrűségétől, jelzési frekvenciától (ütemtől) és olyan vevőparaméterektől, mint pl. a szűrő transzfer függvénye, H_R(f) és a döntési küszöb beállítása (hasonlóan a PAM típusú átvitelhez).

12.2.1.1. Bináris ASK moduláció

Századunk elején a bináris amplitúdóbillentyűzést használták a vezeték nélküli (szikratávíró) táviratozásban, mivel igen egyszerűen meg lehetett valósítani. A bináris ASK jelalak, s(t) felírható általános formában, ahol most s₂(t) = A·cos(ω_ct), ha 0 ≤ t ≤ T és s₁(t) ≡ 0. Tételezzük fel továbbá, hogy a vivőfrekvencia 2π-szerese, ω_c = 2nπ/T, ahol n egész szám.

Az s(t), a modulált jel időfüggvénye felírható az amplitúdómoduláció ismert módszerével az alábbi módon:

s(t) = d(t)·[A·cos(ω_ct)],

ahol d(t) egy alapsávi impulzussorozatot reprezentál. Tegyük fel, hogy d(t) egy T bitidőtartamú véletlen változó négyszögjelsorozat. A modulált jel egyenletéből következik, hogy az ASK jelet szorzóáramkörrel elő lehet állítani, ami másképpen fogalmazva azt jelenti, hogy d(t)-t használjuk fel arra, hogy a vivőt ki-be kapcsolgassuk (=amplitúdóbillentyűzés). A modulált jel spektrális teljesítménysűrűsége, G_s(f) az alábbi módon függ G_d(f)-től, d(t) spektrális teljesítménysűrűségétől:

\( G_s(f) = \dfrac{A^2}{4}\cdot\Big((G_d(f-f_c)+G_d(f+f_c)\Big) \).

A d(t) időfüggvény jelalakja egy véletlen bináris hullámalak, amely két szintet vehet fel: a 0-t vagy az 1-et. Kiszámítható az autokorrelációs függvény felhasználásával, hogy a modulált jel spektruma a következő:

\( G_s(f) = \dfrac{A^2}{16}\cdot\bigg( \delta(f-f_c) + \delta(f+f_c) + \dfrac{\sin^2\big(\pi T(f-f_c)\big)}{\pi^2T^2(f-f_c)^2} + \dfrac{\sin^2\big(\pi T(f+f_c)\big)}{\pi^2T^2(f+f_c)^2} \bigg) \).

A két Dirac-függvény az f_c és a −f_c frekvencián fizikailag a vivőkomponenst jelöli, míg a (sin x)/x alakú tagok adják az oldalsávokat. Grafikusan a 12.9. ábra szemlélteti a spektrum elhelyezkedését a +f_c vivőfrekvencia környezetében.

Ami az ASK jelek demodulálását illeti, két különböző lehetőség között lehet választani. Az egyik az ún. koherens demodulálás, ami igényli a vivő fázishelyes ismeretét, és lényegét tekintve egy integrálásból és döntésből áll, míg a másik eljárás alapvetően nem koherens jellegű, és burkolódetektort használ az adatjel visszanyerésére.

12.2.1.2. Bináris PSK moduláció

A fázisbillentyűzés vagy más szavakkal diszkrét fázismoduláció – mint láttuk – további módszer bináris adatjelek sáváteresztő jellegű csatornán történő továbbítására. A −1 vagy a +1 bináris értéket itt is két hullámforma képviseli, az egyik az s₁(t) = −A·cos(ω_ct), a másik pedig az s₂(t) = A·cos(ω_ct), vagyis két ellenfázisú jelről van szó. A modulált PSK jelet, s(t)-t most is felírhatjuk a szokásos formában:

s(t) = d(t)·[A·cos(ω_ct)],

ahol d(t) a T periódusidejű véletlen bináris jel −1 és +1 értékekkel. Érdekes megfigyelni, hogy az egyetlen különbség az ASK és a PSK hullámalak között az, hogy ASK-nál a vivő vagy van, vagy nincs, míg PSK-nál a vivő hol +1, hol −1 értékkel van megszorozva. Ki lehet mutatni, hogy a PSK jel spektrális teljesítménysűrűség-függvénye, G_s(f) most is a következő:

\( G_s(f) = \dfrac{A^2}{4}\cdot\Big((G_d(f-f_c)+G_d(f+f_c)\Big) \),

ahol

\( G_d(f) = \dfrac{\sin^2(\pi fT)}{\pi^2f^2T^2} \).

12.9. ábra. Véletlen bináris ASK jel spektrális teljesítménysűrűség-függvénye

Ha összehasonlítjuk az ASK és a PSK spektrális sűrűségfüggvényét, akkor megállapíthatjuk, hogy hasonló alakúak. Az egyetlen lényeges különbség abból ered, hogy most nincsenek Dirac-függvények, ami azt jelenti, hogy nincs a vivőfrekvencián diszkrét komponens a PSK spektrumában. Ugyanígy logikus az a megállapítás is, hogy a PSK jel sávszélességigénye hasonló az ASK-éhoz.

A klasszikus PSK jel demodulálása csak a koherens eljárással lehetséges, azaz a vevőben előállított vivőt szinkronizálni kell a beérkező vivő frekvenciájához és fázisához. Pontos számításokkal igazolható, hogy a koherens PSK eljárással fele akkora jelteljesítménnyel (−3 dB) azonos hibavalószínűséget lehet elérni, mint az ugyancsak koherens ASK módszerrel.

12.2.1.3. Bináris FSK moduláció

A frekvenciabillentyűzést (FSK) alkalmazó jelzési módszert főleg kis sebességű adatátviteli rendszerekben alkalmazzák. Előnyei közé tartozik a viszonylag egyszerű konstrukciós igény, ami főleg a lehetséges nemkoherens demodulálási lehetőségből fakad, hiszen a jelet egyszerűen a jelzési frekvencia mérésével lehet demodulálni, nincs szükség szinkronizmusra. Ugyancsak egyszerű az FSK jel előállítása is. Ugyanakkor meg kell jegyezni, hogy hatékonysága adóteljesítményben és sávkihasználásban nem olyan jó, mint a PSK eljárásé.

A bináris FSK esetén a két jelzési hullámforma a következő:

s₁(t) = A·cos(ω_ct−ω_dt),
s₂(t) = A·cos(ω_ct+ω_dt),

amelyek a bináris 1, ill. a bináris −1 értékeknek felelnek meg (a képletekben szereplő ω_d a frekvencialöket). Látható, hogy az FSK esetén az információt alapvetően az aktuális frekvencia értéke hordozza.

A bináris FSK jel állandó amplitúdójú és folyamatos fázisú FM hullámforma. A jel egyik lehetséges matematikai leírását a következő egyenlet adja meg:

\( s(t) = A\cdot\cos(\omega_c t+\omega_d\int\limits_{-\infty}^t d(\tau)d\tau+\phi) \),

ahol d(t) egy véletlen változó bináris hullámforma, amelynek értéke +1, ha d_k = 1 és −1, ha d_k = −1. A bináris FSK jel pillanatnyi frekvenciája – definíció szerint – az s(t) időfüggvény fázisának idő szerinti deriváltja, azaz

\( f_p = \dfrac{d}{dt}(\omega_c t+\omega_d\int\limits_{-\infty}^t d(\tau)d\tau+\phi) = \omega_c+\omega_d d(t) \).

Mivel d(t) = ±1, a pillanatnyi körfrekvenciának is csak két értéke van: ω_c±ω_d.

A digitális FM jel matematikai analízise bonyolult, ezért attól eltekintünk, és csupán a számítások végeredményét ismertetjük a 12.10. ábra segítségével. Az ábráról leolvashatók a következő jellemzők: ha f_dT értéke, azaz a relatív frekvencialöket kicsi, akkor a spektrum a vivőnél csúcsosodik, és lankás a lecsengése (1/T most is a bitsebességet jelöli). Ebben az esetben az FSK jel sávszélessége 2/T Hz nagyságrendben van, ami megegyezik a PSK jelnél kapott értékkel. Ahogy azonban f_dT értéke növekszik, a fő spektrumcsúcsok eltolódnak a jelzési frekvenciákra, (f_c+f_d) és (f_c−f_d) értékekre, és az elfoglalt frekvenciasáv nagyobb lesz, mint a PSK jel 2/T Hz sávszélessége. Ha f_d értéke igen nagy, akkor a spektrum lényegében két összefonódott ASK jel spektruma lesz, amelyeknek vivőfrekvenciája kb. (f_c+f_d) és (f_c−f_d).

Továbbá, ha 2f_d = m/T (m egész szám), a teljesítménysűrűség-spektrum két diszkrét szinuszos frekvenciát is tartalmaz, ahogy ez a 12.10b ábrán látható. Általában elmondható, hogy az FSK jel sávszélessége nagyobb, mint akár az ASK-é, akár a PSK-é.

Korábban már említettük, hogy a fenti egyenlettel leírt bináris FSK hullámalakja egy folytonos fázisú jelalak. A fázis folytonosságának a megőrzése céljából a fázisátmeneteket úgy kell kialakítani, hogy figyelembe vesszük a jel korábbi menetét.

12.10. ábra. a) Az FSK jel teljesítménysűrűség-spektruma;
b) a bináris FSK jel spektruma, ha 2f_d = 1/T

Ellenőrző kérdések

Ismertesse az alapsávi digitális modulációs rendszerek általános felépítését, definiálja az illesztett szűrés fogalmát fehér Gauss-zajos csatornában!
Mi az ISI-mentes átvitel feltétele alapsávi digitális modulációs rendszerben?
Hogyan határozható meg a bináris, digitális, alapsávi modulációs rendszer hibaaránya?
Ismertesse a vivős, digitális modulációs rendszerek típusait, rajzolja fel a jellegzetes jelalakokat!
Rajzolja fel a vivős, bináris, digitális modulációs rendszerek általános felépítését!
Adja meg a vivős, bináris, ASK, PSK, FSK rendszerek kimenőjelének spektrális teljesítménysűrűségét!

Rövidítések

ASK	Amplitude-Shift-Keying	amplitúdóbillentyűzés
BER	Bit Error Ratio	bithibaarány
FSK	Frequency-Shift-Keying	frekvenciabillentyűzés
ISI	Intersymbol Interference	szimbólumközi áthallás
PAM	Pulse Amplitude Modulation	impulzusamplitúdó-moduláció
PDM	Pulse Duration Modulation	impulzusidőtartam-moduláció
PPM	Pulse Position Modulation	impulzushelyzet-moduláció