15. FORGALOMELMÉLET

A távközlési forgalom elméletét a dán A. K. Erlang alapozta meg, 1909 és 1928 között megjelent műveiben. A távközlési forgalomelmélet a tömegkiszolgálás elméletének távközlési rendszerekre való alkalmazása. A gyakorlati esetekre is alkalmazható forgalomelmélet a statisztikai egyensúly feltételezésén alapul.

A távbeszélőrendszerben – gazdaságossági megfontolások miatt – a hívásigények kiszolgálására korlátozott számú erőforrást (kapcsolóeszközt, átviteli csatornát, stb.) használnak. A hívások a közös erőforrásból foglalnak le kiszolgálóegységeket az igény kielégítéséig. Ez azzal jár, hogy a rendszer képtelen az igény szerinti hívásfelépítésre, ha az adott időpontban minden elérhető kiszolgálóegység foglalt. A jelenséget a szakirodalomban torlódásnak nevezik, amely bizonyos mértéken felül kényelmetlenséget idézhet elő. Ez a kényelmetlenség hatással van a szolgálat minőségére, amelyet a szolgáltatási szinttel (GOS – grade of service) jellemeznek. A forgalmi méretezés feladata gondoskodni a forgalmat lebonyolító eszközök elégséges mennyiségéről és azok elérhető legjobb kihasználásáról.

15.1. Fogalmak, definíciók

Ebben a szakaszban a tárgyalás megkönnyítése érdekében előrebocsátunk néhány fogalmat és definíciót:

hívásintenzitás (λ): egy kapcsolóegység, áramkörcsoport, előfizető stb. felé irányuló igények időegységre eső teljes mennyisége;
tartásidő (h): az az idő, ameddig az elfogadott igény egy kiszolgálóegységet lefoglal;
forgalomintenzitás: egy N kiszolgálóból álló nyaláb adott időtartam alatt "végzett" munkáját a hívások tartásidejének összege adja meg: \( \sum\limits_{i=1}^zh_i=z\cdot\hat{h} \) ,
ahol h_i az i-edik hívás tartásideje; z a hívások száma; \( \hat{h} \) az átlagos tartásidő.
Legyen a vizsgált időtartam T. Ekkor a lefoglalások számának átlaga:

\( \dfrac{1}T\cdot\sum\limits_{i=1}^zh_i=\dfrac{z}T\cdot\hat{h}=\lambda\cdot\hat{h} \) ,
ahol λ a hívásintenzitás.
\( \lambda\cdot\hat{h}=A \)
az egyidejű lefoglalások egy időintervallumra (1 óra) vett átlagát adja, és általában forgalomintenzitásnak vagy egyszerűen csak forgalomnak nevezik. A forgalom mértékegység nélküli szám, de a számérték mellé írják az Erlang szót. Ez jelzi, hogy a számérték távközlési forgalmat jelent;
felajánlott forgalom (A): valamely kiszolgálócsoport számára – a forgalmi eset meghatározott elméleti leírásának megfelelően – a forgalomforrások (források) által kezdeményezett forgalom (feltételezett mennyiség);
lebonyolított forgalom (Y): valamely csoport által ténylegesen átvitt forgalom. Vonatkozhat mind elméleti leírásra, mind – lévén mérhető – tényleges viszonyokra;
csúcsforgalmi óra: minden nap az a 60 perces időszak, amelyben a forgalom a legnagyobb. Ez különböző napokon általában különböző időben van;
forgalmas óra: az a 60 perces időtartam, amely minden nap ugyanakkor kezdődik, és amely alatt az eszközök vizsgált csoportjában a forgalom intenzitása a legnagyobb a tekintetbe vett napok alatt. Az előfizetők igénye minden valószínűség szerint az lenne, hogy a GOS-kívánalom az év legnagyobb forgalmú órájában is teljesüljön. Ezt azonban gyakorlatilag lehetetlen kimérni és ráadásul a forgalom növekszik, ezenkívül egy ilyen rendszer az év többi órájában nem lenne jól kihasználva, tehát túl drága lenne. Ezért egy olyan forgalomértéket célszerű meghatározni – és erre végezni el a méretezést –, amelynél többre csak korlátozott számú (néhány) napon lehet számítani, és ez lehet pl. a forgalmas órai forgalom.

15.1.1. A távbeszélő-forgalom matematikai modellje

A modell három jellemző vonása: a bemeneti folyamat, a kiszolgálás mechanizmusa és a kiszolgálás szabályai.

A bemeneti folyamatot az egymás után érkező hívások érkezési időpontjai közt eltelt időtartam eloszlásával adják meg.

A kiszolgálási mechanizmust a kiszolgálóegységek száma, az igények kiszolgálási (tartási) idejének eloszlása és a kiszolgálóegységek elérési módja határozza meg.

A kiszolgálási szabályzat a torlódó igényekről rendelkezik. A torlódó igények veszteséges rendszerben azonnal eltűnnek a rendszerből, várakozásos rendszerben várakoznak a kiszolgálásra, és ehhez pl. érkezési sorrendben jutnak hozzá.

Kétféle torlódási fogalom használatos. Időtorlódás az időnek az a hányada, amikor az elérhető összes kiszolgáló egyidejűleg foglalt (de nem biztos, hogy ilyenkor van is hívás!). Hívástorlódás a hívások azon hányada, amely a – kiszolgálók foglaltsága miatt – visszautasítással találkozott (veszteséges rendszer) vagy várakozásra kényszerült (várakozásos rendszer).

A különböző esetek szokásos közös feltételezései:

Statisztikai egyensúly.
Az egyes forgalomforrások működése független a többi forrás állapotától.
Az egymást követő hívások között eltelt idő (érkezési idő) negatív exponenciális eloszlású.
Az egyes lefoglalások időtartama (tartásidő) független a többi lefoglalástól.
Az egyes lefoglalások időtartama negatív exponenciális eloszlású.
Determinisztikus szabályok érvényesek arra vonatkozóan, hogy mi történik a sikertelen hívásokkal.

Jellemezzük először a bemeneti folyamatot!

A forgalmat úgy tekintjük, hogy azt egyedi források állítják elő, amik egyidejűleg csak egy hívást tudnak kezdeményezni. A források száma lehet véges vagy végtelen, az általuk előállított forgalom azonban mindig véges!

Az érkezési idők eloszlása negatív exponenciális, 1/λ átlagértékkel:

\( F_\text{érk}(t) = 1 - e^{-\lambda t} \) .

Egy tetszőleges időponttól a hívások beérkezéséig eltelt idők eloszlása ugyanazt az exponenciális eloszlást követi, mint a hívások közötti idők eloszlása, és az időpont megválasztásától független (emlékezésmentes). A beérkező hívások számát Poisson-eloszlás írja le.

A tartásidők eloszlása negatív exponenciális \( \hat{h} \) átlagértékkel:

\( F_\text{tart}(t) = 1 - e^{-t/\hat{h}} \) .

i számú, exponenciális tartásidő-eloszlású, egymástól független lefoglalás esetében a befejeződés gyakorisága t idő alatt:

\( \mu_i(t) = i\cdot t/\hat{h} \) .

A keletkezés gyakoriságát a szabad forgalomforrások hívásintenzitásából (λ') számíthatjuk:

a változó hívásintenzitás (Bernoulli, Engset) esetében: λ_i = (S−i)·λ'

az állandó hívásintenzitás (Poisson, Erlang) esetében: λ = λ_i
ahol i a foglalt forgalomforrások száma; S a forgalomforrások száma; λ_i a hívásintenzitás (keletkezés gyakorisága) i foglaltság esetén.

A kiszolgálási mechanizmus lényeges eleme a kiszolgálók elérésének (csoportosításának) módja, amely lehet:

Teljes elérhetőségű csoport: amikor is mindegyik bemenet elérheti bármelyik kimenetet, és egy szabad kimenet egy adott bemenetről mindig elérhető, függetlenül attól, hogy milyen foglaltság van a bemenetek és a kimenetek között (15.1. ábra). Az (a) ábra szerint a be- és kimenetek összekapcsolását a vízszintesek és függőlegesek kereszteződésénél elhelyezett kapcsolóelemek (keresztpontok) végzik. Az ábrázolási mód után az elrendezést kapcsolómátrixnak nevezik. A forgalmi viselkedés elemzésére a (c) ábra modelljét használják, amelynél az összetartozó be- és kimeneteket ábrázoló kis köröket egy egyenes (iránya tetszőleges lehet) mentén helyezik el. A teljes elérhetőségű kapcsolómátrix leggyakrabban használt ábrázolási módját a (b) ábra mutatja.
15.1. ábra. A teljes elérhetőségű csoport ábrázolási módjai
Korlátozott elérhetőségű vagy más néven lépcsőzött csoport, amelyet a térosztásos kapcsolóközpontokban az áramkörök teljesítményének növelésére használtak. A korlátozott elérhetőség azt jelenti, hogy egy adott forgalomforrás az N nagyságú kiszolgálónyalábnak csak meghatározott k egyedét érheti el (k < N).
Linkrendszer: a be- és kimenet közötti kapcsolat két vagy több, egymás után kapcsolt, kis keresztpontszámú, teljes elérhetőségű kapcsolómátrix révén valósul meg (15.2. ábra). A linkrendszer "keresztpont-takarékos" kapcsolás, alkalmazása a nemesfém érintkezőjű crossbar rendszerekben kezdődött el.
15.2. ábra. A kétfokozatú linkkapcsolás ábrázolási módjai

15.2. Veszteséges rendszerek

A statisztikai egyensúly elve a forgalmas órára alkalmazható, mert a vizsgált időtartamban a forgalom sem nem növekszik, sem nem csökken, hanem átlagértéke körül ingadozik. Ez csak akkor lehetséges, ha a rendszerben ugyanolyan gyakran fordul elő az (i−1) foglaltsági állapotból az i állapotba való átlépés, mint a fordítottja.

15.2.1. Teljes elérhetőségű csoport

Jelölje P_i annak valószínűségét, hogy N kiszolgáló közül egyidejűleg i számú foglalt (i = 0, 1, …, N). P_i egyben az időnek az a hányada, ameddig az i számú egyidejű foglaltság fennáll. A rendszernek ebben az i állapotában az időegység alatt keletkező hívások gyakoriságát λ_i, a megszűnések gyakoriságát pedig μ_i jelöli. A statisztikai egyensúly elvét alkalmazva írható, hogy
\( P_{i+1}\cdot\mu_{i+1} = P_i\cdot\lambda_i \) ,
amiből
\( P_{i+1} = P_i\cdot\dfrac{\lambda_i}{\mu_{i+1}} \)
(veszteséges rendszerben λ_N = 0!).

15.2.1.1. Erlang típusú (konstans hívásintenzitású) rendszerek

Konstans hívásintenzitás (S ≫ N) esetén \( \lambda_i = \lambda \), valamint \( \mu_{i+1} = (i+1)/\hat{h} \), és \( \lambda\cdot\hat{h} = A \) helyettesítéssel adódik:
\( P_{i+1} = P_i\cdot\dfrac{A}{i+1} \) ,
i = 0-tól alkalmazott rekurzióval és a teljes eseménysor felhasználásával:
\( P_i = \dfrac{\dfrac{A^i}{i!}}{\sum\limits_{j=0}^N\dfrac{A^j}{j!}} \) .

Az időtorlódás definíciója (veszteséges és várakozásos rendszerekben egyaránt):

\( E = \sum\limits_{i\ge N}P_i \) ,
amiből az Erlang típusú rendszerek időtorlódása (E=P_N):
\( E_N(A) = \dfrac{\dfrac{A^N}{N!}}{1+A+\dfrac{A^2}{2!}+...+\dfrac{A^N}{N!}} \) .

A hívástorlódás (B) definíciója (veszteséges és várakozásos rendszerekben egyaránt):

\( B_N = \dfrac{\sum\limits_{i\ge N}^S \lambda_i\cdot P_i}{\sum\limits_{i\ge 0}^S \lambda_i\cdot P_i} \) .
Alkalmazva a λ_i = λ helyettesítést, kapjuk, hogy
B_N(A) = P_N(A) = E_N(A) ,
amit Erlang első vagy B-formulájának is szoktak nevezni. Erlang B-formulájának gyors kiértékelésére táblázatokat vagy diagramokat (15.3. ábra) készítenek. Megszokott ábrázolási mód, hogy a veszteség szerepel paraméterként, de bármelyik változó lehet paraméter.

15.3. ábra. Az Erlang-összefüggés ábrázolása

A lebonyolított forgalom,

\( Y = \sum\limits_{i=1}^N i\cdot P_i \)
összefüggésébe helyettesítve kapjuk, hogy
Y = A·[1−E_N(A)] .

A kiszolgálók véletlenszerű lefoglalása esetén az átlagos kihasználtságuk

\( a = \dfrac{A}N\cdot[1-E_N(A)] \) ,
sorrendi lefoglalásnál az i-edik kiszolgáló kihasználtsága:
a_i = A·[E_i−1(A) − E_i(A)] .

15.2.1.2. Változó hívásintenzitású rendszerek

…

15.2.2. Linkrendszerek

…

15.3. Várakozásos rendszerek

A várakozásos rendszereket a várakozás valószínűsége mellett az átlagos várakozási idő, az adott időnél hosszabb ideig való várakozás valószínűsége, a várakozó sor várható hossza is jellemzi. A jellemzők meghatározására egzakt megoldás csak negatív exponenciális eloszlású kiszolgálási időknél, ill. egyetlen kiszolgálót tartalmazó, konstans tartásidejű rendszernél van.

Az elemzést csak az ún. Erlang típusú (konstans hívásintenzitású) rendszerre végezzük el. A korábbiakban tett feltételeket a következőkkel egészítjük ki:

minden várakozni kényszerülő igény megvárja a kiszolgálást;
a felajánlott forgalom számértéke kisebb, mint a kiszolgálók száma (A < N, ugyanis ellenkező esetben minden hívásnak minden esetben várakoznia kellene);
a kiszolgálás érkezési sorrendben történik;
a várakozó sor nincs korlátozva (végtelen várakozási pozíció).

A várakozásos rendszer analízisét szintén a statisztikai egyensúly elvére alapozzuk, azzal az eltéréssel, hogy a rendszer lehetséges állapotai nem végződnek N-nél, hanem az N kiszolgáló egyidejű foglaltsága esetén a rendszerben j számú várakozó is lehet (j = 0, 1, …, ∞).

A statisztikai egyensúly elvét kifejező egyenletünkben a növekedési ráta i > N esetében is létezik (λ), a csökkenési ráta (μ) i ≥ N esetén mindig (N/\( \hat{h} \)), mivel feltételezésünk szerint csak kiszolgálás alatti hívás távozik a rendszerből. Ennélfogva:

\( P_{i+1} = \left\{ \begin{array}{ll} P_i\cdot\dfrac{A}{i+1}, & \text{ha }i\le N-1, \\ P_i\cdot\dfrac{A}N, & \text{ha }i>N-1; \end{array} \right. \)
az ismert rekurziót és a teljes esemény feltételt alkalmazva:
\( P_i = \left\{ \begin{array}{ll} \dfrac{\dfrac{A^i}{i!}}{\sum\limits_{j=0}^{N-1}\dfrac{A^j}{j!}+\dfrac{A^N}{N!}\cdot\dfrac{N}{N-A}}, & \text{ha }i\le N-1, \\ \dfrac{\dfrac{A^N}{N!}\cdot\bigg(\dfrac{A}N\bigg)^{i-N}}{\sum\limits_{j=0}^{N-1}\dfrac{A^j}{j!}+\dfrac{A^N}{N!}\cdot\dfrac{N}{N-A}}, & \text{ha }i>N-1. \end{array} \right. \)

Az időtorlódást (E) és a hívástorlódást (B) meghatározva azt kapjuk, hogy értékük megegyezik. Ezt nevezik Erlang második vagy D-formulájának, ami a várakozás valószínűségét adja meg:

\( D_N(A) = \dfrac{\dfrac{A^N}{N!}\cdot\dfrac{N}{N-A}}{\sum\limits_{j=0}^{N-1}\dfrac{A^j}{j!}+\dfrac{A^N}{N!}\cdot\dfrac{N}{N-A}} \) .

Az Erlang B- és D-formulája közötti összefüggés,

\( D_N(A) = \dfrac{N\cdot E_N(A)}{N-A\cdot[1-E_N(A)]} \)
segítségével a B-formula diagramjait a várakozásos rendszer jellemzésére is tudjuk használni.

A lebonyolított forgalom megegyezik a felajánlott forgalommal (a feltételekből következik): Y = A.

A várakozási idők eloszlásfüggvénye (a levezetés mellőzésével):

\( F_v(t) = D_N(A)\cdot e^{-(N-A)\cdot t/\hat{h}} \) .

Ha egy hívás ténylegesen várakozni kényszerül, akkor annak valószínűsége, hogy adott időt meghaladó ideig kényszerül várakozni:

\( F_\text{vár}(t) = e^{-(N-A)\cdot t/\hat{h}} \) .
A várakozási idők várható értéke az összes hívásra:
\( \tau_v = \dfrac{\hat{h}}{N-A} \cdot D_N(A) \) .
A várakozási idők várható értéke a várakozó hívásokra:
\( \tau_{v,\text{vár}} = \dfrac{\hat{h}}{N-A} \) .
A várakozó sor várható hossza:
\( (q) = \dfrac{A}{N-A} \cdot D_N(A) \) .

A h állandó tartásidővel jellemezhető rendszereknél N = 1 esetére van pontos megoldás. Az értékek az exponenciális tartásidő esetében kapott értékek fele:

\( \tau_v = \dfrac{h}2\cdot\dfrac{a}{1-a} \) ;
\( \tau_{v,\text{vár}} = \dfrac{h}2\cdot\dfrac{1}{1-a} \) ,
ahol a = felajánlott forgalom = átvitt forgalom < 1.

Ellenőrző kérdések

Mi a távközlési forgalmi tervezés célja?
Mi az időtorlódás és a hívástorlódás definíciója?
Mit fejez ki a statisztikai egyensúly elve és hol alkalmazzák?
Melyek a linkrendszerek jellemzői?
Melyek a várakozásos rendszerek jellemzésére használt paraméterek?